lunes, 8 de febrero de 2010

Carnaval de Matemáticas I

Aunque hay controversia con la traducción del nombre yo aprovecho y dejo un problema (sencillito) que tiene que ver con el carnaval y que lo usamos en la XVII Olimpiada Matemática provincial de Albacete.
Estas mascaras se componen esencialmente de unas figuras circulares especiales, llamadas lúnulas. La lúnula es la parte del plano comprendido entre dos arcos de círculo con los mismos extremos y con las concavidades hacia el mismo lado. Dos ejemplos de lúnulas son los siguientes.
En los dos dibujos, la barba ocupa la misma superficie que la cabellera (son las áreas sombreadas).
Ni más ni menos. Pero falta demos­trarlo.

1 comentario:

Milhaud dijo...

Tomando la segunda figura.

Llamemos al área superior A1 y al área del triángulo inferior A2. A1 sería igual a la semicircunferencia de radio r (llamemosla SR1), menos el la sección en blanco del círculo de radio r' (llamemosla SR2)

A1 = SR1 - SR2
SR2 = (PI·r'^2)/4 - A2
SR1 = (PI·r^2)/2

Sustituyendo:

A1 = (PI·r^2)/2 - (PI·r'^2)/4 + A2

Por pitágoras del triángulo inferior podemos saber que 2·r'^2 = (2·r)^2 o lo que es igual r'^2 = 2·r^2. Sustituyendo.

A1 = (PI·r^2)/2 - (PI·2·r^2)/4 + A2
A1 = A2

Si ahora tomamos la primera imagen, podemos comprobar que las 'cejas' se corresponden con dos A1 de las expuestas en el problema anterior, y que el cuadrado se podría obtener de la unión de dos triangulos de área A2.

Un saludo!