La verdad inalcanzable: El teorema de Gödel

Sergio Parra 9 de febrero de 2009
Desde Euclides, los matemáticos siempre han intentado formular una serie de verdades absolutas e incontrovertibles, llamados “axiomas”, para luego deducir de ellos toda clase de conclusiones útiles. Pero con el teorema de Gödel las cosas cambiaron. Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar, sin lugar a dudas, que las matemáticas mismas son incompletas.

Pero vayamos por partes. Para enunciar axiomas hay una serie de reglas. Primero: los axiomas deben ser los menos posibles. Y segundo: tiene que ser imposible deducir de ellos dos conclusiones que se contradigan mutuamente.

En los manuales de matemáticas de cualquier colegio ya empezamos a aprender los primeros axiomas. El más conocido, sin duda, es el de “por dos puntos cualesquiera sólo se puede trazar una recta” o “el total es la suma de las partes”. Los matemáticas, pues, son una gozada, porque, a diferencia de otras disciplinas del conocimiento, con ellas sí parece que podamos llegar a verdades absolutas, a la sabiduría de verdad.


Pero la realidad no es tan bonita. Durante muchos años se creyó que los axiomas de Euclides eran los únicos que podían constituir una geometría consistente. La únicas verdades a las que podíamos agarrarnos. Pero en el siglo XIX se demostró que modificando de cierta manera los axiomas de Euclides se podían constituir geometrías diferentes y también consistentes. A partir de ese momento, la gente ya no sabía cuál de esas geometrías era la verdadera.

Tal vez la pregunta no debería cuál es la verdadera sino cuál es la útil. Porque conjuntos de axiomas a partir de los cuales puedan surgir sistemas matemáticos consistentes hay muchos, y todos ellos son distintos entre sí. Esto va en contra de una de las reglas sobre los axiomas: que no pueden contradecirse mutuamente.

Pero imaginad el siguiente enunciado: “El enunciado que estoy haciendo es falso“.

Si es falso, entonces es falso que estoy diciendo algo falso y tengo que estar diciendo algo verdadero. Pero si estoy diciendo algo verdaero, entonces es cierto que estoy diciendo algo falso y sería v edad que estoy diciendo algo falso. Y así hasta el infinito. Es imposible demostrar lógicamente que mi enunciado es o así o no así.

Otro enunciado de las mismas características lo pronunció Sócrates: “Yo sólo sé que no sé nada“.

Pensaréis que este tipo de frases son tramposas y que la realidad no se comporta de esta forma.

En 1931, el matemático austríaco Kurt Gödel, con sólo 25 años, publicó un artículo titulado Sobre proposiciones formalmente no decidibles en Principia Mathematica y sistemas relacionados. Allí demostraba que para cualquier conjunto de axiomas siempe es posible hacer enunciados que, a partir de esos axiomas, no puede demostrarse ni que son así no que no son así. En ese sentido, es imposible elaborar jamás un conjunto de axiomas a partir de los cuales se pueda deducir un sistema matemático completo.

No os asustéis. Esto no significa que no podamos llegar nunca a la verdad. Significa que el sistema matemático nos será útil siempre que no lo empleemos más allá de sus límites. Gödel nos descubrió que la verdad es una categoría superior a la demostrabilidad. Y, por otra parte, el teorema de Gödel sólo se aplica a sistemas deductivos del tipo que se utiliza en matemáticas. Nos demuestra que el sistema matemático más perfecto que podamos conseguir, con un número finito de axiomas y reglas de inferencia, es incapaz por principio de probar la verdad/falsedad de enunciados que nosotros, desde fuera del sistema, advertimos sin problemas.

Pero, afortunadamente, la deducción no es la única manera de descubrir la verdad.

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